Я не жалею, что написал о проблеме Монти Холла вчера, т.к. в результате перечитал еще раз википедию и несколько статей, и понял об этом вопросе что-то, чего не понимал раньше.
Итак, давайте вернемся к вопросу и сформулируем его еще раз. Есть три двери, за одной автомобиль, за другими двумя козы. Обозначим двери 1,2,3. Вы выбираете одну из дверей - пусть определенности ради это будет дверь номер 1. Ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся двух дверей, причем заранее известно, что он специально откроет дверь, за которой стоит коза. Он так и делает - предположим, он открыл дверь номер 3, и за ней коза. Теперь у вас есть шанс сменить свой выбор с первой двери на вторую. Стоит ли вам так поступить?
Я не буду заново объяснять, почему правильный ответ - "да, стоит, если сменить выбор, то с вероятностью 2/3 выиграешь автомобиль". Если вы с этим несогласны, почитайте Википедию, или английскую Википедию, или триста комментов у![[info]](http://p-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif)
object'а, итд. итд. Давайте предположим, что мы все согласны с тем, что при смене выбора вероятность выигрыша оказывается 2/3 (66.6%), а не 1/2 (50%). Я хочу обсудить теперь два более тонких вопроса.
Во-первых, не все, кто знают правильный ответ, отдают себе отчет в том, насколько важно правило, что ведущий всегда специально открывает дверь с козой. Что если изменить это правило, и сказать, например, что ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей наугад - если автомобиль, то мы отменяем всю попытку, а если коза, то предлагаем игроку сменить выбор, как раньше? Если сделать так, что вероятность выигрыша при смене выбора действительно оказывается 50%, а не 66.6% - т.е. менять выбор незачем (непонимание этого обстоятельства можно считать путаницей Монти Холла второго порядка, в отличие от более обычной путаницы, когда человек думает, что в обычном условии ответ 50%). В отличие от обычного условия, когда действия ведущего "не добавляют информации" (ведь он всегда может найти дверь с козой, чтобы открыть ее), в этой формулировке тот факт, что ведущий открыл дверь с козой, добавляет новую информацию - ведь ему мог попасться автомобиль, но не попался! - и меняет вероятности для двух других дверей. Чтобы убедиться в этом, можно расписать все возможности и посчитать количество вариантов. См. также программуobject'а, которая это наглядно демонстритует во втором эксперименте.
Во-вторых, вот новая (для меня) информация. Что происходит - в обычной, "правильной" формулировке задачи - когда ведущий может открыть как вторую, так и третью дверь, потому что за обеими козы? Например, он выбирает наугад одну из них. Так вот, то, что он выбирает наугад, должно быть частью условия, иначе ответ необязательно равен 2/3! Подчеркну еще раз, чтобы не было путаницы: здесь речь идет не о выборе, какую дверь открыть вообще (как в прошлом абзаце), а только в случае, когда за обеими козы. Если ведущий в этом случае выбирает дверь не случайно - например, если он почему-то предпочитает дверь номер 3, может, она к нему ближе - тогда вероятность выигрыша не будет равна ровно 2/3, хотя она все равно будет где-то между 50% и 100%.
На самом деле то, что я только что написал, не совсем верно. Чтобы все прояснить, надо сначала все усложнить. Дело в том, что главный вопрос - какова вероятность выигрыша? - можно задать двумя разными способами, и это будут на самом деле две разные (хоть и очень похожие!) задачи. Вот эти два способа:
1. Предположим, какой-то игрок всегда выбирает сменить свой выбор. Пускай он это делает много раз, каждый раз после того, как ведущий открывает какую-то дверь с козой согласно условиям. В каком проценте случаев он выиграет?
2. Предположим, вы выбрали дверь 1, и ведущий открыл дверь 3 с козой согласно условиям. Какова вероятность выиграть, если вы сейчас смените дверь?
Эти две формулировки выглядят очень похожими, но на самом деле они разные. Эту разницу можно объяснить вот как. Обычно говорят, что выбор ведущего "не добавляет информации", потому что ведущий всегда может открыть дверь с козой согласно условиям. В первой формулировке задачи это действительно верно. Но во второй формулировке это всего лишь почти верно, потому что мы знаем, что открыта дверь номер 3, а не номер 2. Это хоть и небольшая, но дополнительная информация, и если у ведущего есть какие-то предпочтения в этом вопросе, они могут повлиять на вероятность выигрыша. Говоря математическим языком, во второй задаче речь идет об условной вероятности выигрыша при том обстоятельстве, что открыта дверь номер 3. В первой задаче речь идет о "просто" вероятности выигрыша, никакой условности в ней нет ("условная вероятность" означает "вероятность того, что случилось событие X, при условии, что верно обстоятельство Y").
Вот конкретный пример. Предположим, ведущий, если у него есть возможность, всегда предпочтет открыть дверь номер 2. Предположим, что вы теперь видите, что он открыл дверь номер 3. Тогда вероятность выигрыша при смене выбора для вас верна 100% - автомобиль точно находится за дверью номер 2, иначе ведущий бы ее открыл.
А если наоборот, ведущий всегда предпочтет, если возможно, третью дверь? Тогда, если мы видим, что он открыл третью дверь, вероятность выигрыша всего 50%. Это потому, что информация об открытой третьей двери берет на себя весь вес возможности "автомобиль за первой дверью" - ведь в таком случае ведущий всегда откроет третью дверь. Третья дверь будет открыть всегда и если автомобиль за первой, и если автомобиль за второй, так что информация об этом сохраняет исходно равные шансы этих двух возможностей.
Если же ведущий выбирает дверь (когда за обеими козы) наугад, то вероятность выигрыша действительно равна 66.6%, как в "правильном" решении.
В чем тут разница с первой задачей, из двух вышеописанных вариантов? В ней ответ всегда 66.6%, вне зависимости от предпочтений ведущего. Почему, как это объяснить? Дело в том, что она включает в себя и те случаи, когда ведущий открыл дверь номер 3, и те случаи, когда ведущий открыл номер 2. В ней мы действительно не получаем никакой новой информации. Например, предположим опять, что ведущий всегда стремится открыть третью дверь, если можно. Тогда: если известно, что открыта вторая дверь, то вероятность (условная) выигрыша при смене равна 100%. Если известно, что открыта третья дверь, то вероятность (условная) выигрыша при смене равна 50%. А если мы сделаем тысячу разных попыток, то в части из них ведущий откроет вторую дверь (когда у него не будет выбора, потому что автомобиль за третьей), в остальных случаях откроет третью. Доля выигрышей среди тех случаев, где открыл вторую, будет 100%, среди тех, где открыл третью - 50%, а доля выигрыша вообще, из всех попыток - все равно будет 66.6%.
Обычно, когда формулируют задачу Монти Холла, то формулируют именно задачу с условной вероятностью - т.е. "что мне теперь делать, если при мне открыли дверь с козой?". Так вот, чтобы правильным ответом было 2/3, такая формулировка должна включать в себя условие "когда ведущий выбирает между двумя дверьми с козами, он выбирает случайно". А всякие компьютерные проверки чаще всего, наоборот, проверяют первый вариант, в котором ответ всегда 2/3 (напр. программаobject'а такова). Правда, надо отметить, что даже во втором варианте без уточняющего условия все равно можно посоветовать игроку сменить выбор. Вероятность выигрыша для него варьируется от 50% до 100%, и почти наверняка реально выше 50%, так что он ничего не проигрывает, а скорее всего выигрывает, от смены выбора.
Итак, давайте вернемся к вопросу и сформулируем его еще раз. Есть три двери, за одной автомобиль, за другими двумя козы. Обозначим двери 1,2,3. Вы выбираете одну из дверей - пусть определенности ради это будет дверь номер 1. Ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся двух дверей, причем заранее известно, что он специально откроет дверь, за которой стоит коза. Он так и делает - предположим, он открыл дверь номер 3, и за ней коза. Теперь у вас есть шанс сменить свой выбор с первой двери на вторую. Стоит ли вам так поступить?
Я не буду заново объяснять, почему правильный ответ - "да, стоит, если сменить выбор, то с вероятностью 2/3 выиграешь автомобиль". Если вы с этим несогласны, почитайте Википедию, или английскую Википедию, или триста комментов у
object'а, итд. итд. Давайте предположим, что мы все согласны с тем, что при смене выбора вероятность выигрыша оказывается 2/3 (66.6%), а не 1/2 (50%). Я хочу обсудить теперь два более тонких вопроса.Во-первых, не все, кто знают правильный ответ, отдают себе отчет в том, насколько важно правило, что ведущий всегда специально открывает дверь с козой. Что если изменить это правило, и сказать, например, что ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей наугад - если автомобиль, то мы отменяем всю попытку, а если коза, то предлагаем игроку сменить выбор, как раньше? Если сделать так, что вероятность выигрыша при смене выбора действительно оказывается 50%, а не 66.6% - т.е. менять выбор незачем (непонимание этого обстоятельства можно считать путаницей Монти Холла второго порядка, в отличие от более обычной путаницы, когда человек думает, что в обычном условии ответ 50%). В отличие от обычного условия, когда действия ведущего "не добавляют информации" (ведь он всегда может найти дверь с козой, чтобы открыть ее), в этой формулировке тот факт, что ведущий открыл дверь с козой, добавляет новую информацию - ведь ему мог попасться автомобиль, но не попался! - и меняет вероятности для двух других дверей. Чтобы убедиться в этом, можно расписать все возможности и посчитать количество вариантов. См. также программу
object'а, которая это наглядно демонстритует во втором эксперименте. Во-вторых, вот новая (для меня) информация. Что происходит - в обычной, "правильной" формулировке задачи - когда ведущий может открыть как вторую, так и третью дверь, потому что за обеими козы? Например, он выбирает наугад одну из них. Так вот, то, что он выбирает наугад, должно быть частью условия, иначе ответ необязательно равен 2/3! Подчеркну еще раз, чтобы не было путаницы: здесь речь идет не о выборе, какую дверь открыть вообще (как в прошлом абзаце), а только в случае, когда за обеими козы. Если ведущий в этом случае выбирает дверь не случайно - например, если он почему-то предпочитает дверь номер 3, может, она к нему ближе - тогда вероятность выигрыша не будет равна ровно 2/3, хотя она все равно будет где-то между 50% и 100%.
На самом деле то, что я только что написал, не совсем верно. Чтобы все прояснить, надо сначала все усложнить. Дело в том, что главный вопрос - какова вероятность выигрыша? - можно задать двумя разными способами, и это будут на самом деле две разные (хоть и очень похожие!) задачи. Вот эти два способа:
1. Предположим, какой-то игрок всегда выбирает сменить свой выбор. Пускай он это делает много раз, каждый раз после того, как ведущий открывает какую-то дверь с козой согласно условиям. В каком проценте случаев он выиграет?
2. Предположим, вы выбрали дверь 1, и ведущий открыл дверь 3 с козой согласно условиям. Какова вероятность выиграть, если вы сейчас смените дверь?
Эти две формулировки выглядят очень похожими, но на самом деле они разные. Эту разницу можно объяснить вот как. Обычно говорят, что выбор ведущего "не добавляет информации", потому что ведущий всегда может открыть дверь с козой согласно условиям. В первой формулировке задачи это действительно верно. Но во второй формулировке это всего лишь почти верно, потому что мы знаем, что открыта дверь номер 3, а не номер 2. Это хоть и небольшая, но дополнительная информация, и если у ведущего есть какие-то предпочтения в этом вопросе, они могут повлиять на вероятность выигрыша. Говоря математическим языком, во второй задаче речь идет об условной вероятности выигрыша при том обстоятельстве, что открыта дверь номер 3. В первой задаче речь идет о "просто" вероятности выигрыша, никакой условности в ней нет ("условная вероятность" означает "вероятность того, что случилось событие X, при условии, что верно обстоятельство Y").
Вот конкретный пример. Предположим, ведущий, если у него есть возможность, всегда предпочтет открыть дверь номер 2. Предположим, что вы теперь видите, что он открыл дверь номер 3. Тогда вероятность выигрыша при смене выбора для вас верна 100% - автомобиль точно находится за дверью номер 2, иначе ведущий бы ее открыл.
А если наоборот, ведущий всегда предпочтет, если возможно, третью дверь? Тогда, если мы видим, что он открыл третью дверь, вероятность выигрыша всего 50%. Это потому, что информация об открытой третьей двери берет на себя весь вес возможности "автомобиль за первой дверью" - ведь в таком случае ведущий всегда откроет третью дверь. Третья дверь будет открыть всегда и если автомобиль за первой, и если автомобиль за второй, так что информация об этом сохраняет исходно равные шансы этих двух возможностей.
Если же ведущий выбирает дверь (когда за обеими козы) наугад, то вероятность выигрыша действительно равна 66.6%, как в "правильном" решении.
В чем тут разница с первой задачей, из двух вышеописанных вариантов? В ней ответ всегда 66.6%, вне зависимости от предпочтений ведущего. Почему, как это объяснить? Дело в том, что она включает в себя и те случаи, когда ведущий открыл дверь номер 3, и те случаи, когда ведущий открыл номер 2. В ней мы действительно не получаем никакой новой информации. Например, предположим опять, что ведущий всегда стремится открыть третью дверь, если можно. Тогда: если известно, что открыта вторая дверь, то вероятность (условная) выигрыша при смене равна 100%. Если известно, что открыта третья дверь, то вероятность (условная) выигрыша при смене равна 50%. А если мы сделаем тысячу разных попыток, то в части из них ведущий откроет вторую дверь (когда у него не будет выбора, потому что автомобиль за третьей), в остальных случаях откроет третью. Доля выигрышей среди тех случаев, где открыл вторую, будет 100%, среди тех, где открыл третью - 50%, а доля выигрыша вообще, из всех попыток - все равно будет 66.6%.
Обычно, когда формулируют задачу Монти Холла, то формулируют именно задачу с условной вероятностью - т.е. "что мне теперь делать, если при мне открыли дверь с козой?". Так вот, чтобы правильным ответом было 2/3, такая формулировка должна включать в себя условие "когда ведущий выбирает между двумя дверьми с козами, он выбирает случайно". А всякие компьютерные проверки чаще всего, наоборот, проверяют первый вариант, в котором ответ всегда 2/3 (напр. программа
object'а такова). Правда, надо отметить, что даже во втором варианте без уточняющего условия все равно можно посоветовать игроку сменить выбор. Вероятность выигрыша для него варьируется от 50% до 100%, и почти наверняка реально выше 50%, так что он ничего не проигрывает, а скорее всего выигрывает, от смены выбора.
